Po co są dowody w matematyce?

Pojęcie dowodu w matematyce różni się od pojęcia dowodu w naukach doświadczalnych (empirycznych) takich, jak fizyka, biologia, chemia, kryminalistyka itd.

Dowód w matematyce to rozumowanie, które prowadzi od pewnego zestawu zdań, zwanych założeniami, do innego zdania lub zestawu zdań, zwanego tezą. W istocie dowód matematyczny wskazuje na wewnętrzną logiczną spójność matematyki.

W przypadku nauk empirycznych rozumowanie podobne do tego, które się przeprowadza w matematyce, jest tylko częścią przeprowadzanego dowodu. Inną istotną częścią dowodu jest przeprowadzenie doświadczenia i/lub dokonanie obserwacji i przeanalizowanie założeń, metod i modeli.

Czytaj dalej

Motyl, grecka bogini i …

Co łączy motyla, mitologię grecką i krzywą zapominania?

Odpowiedzią jest Mnemosyne.

Tak nazwano gatunek motyla/ Zdjęcia można zobaczyć tutaj.

Mnemozyna to bogini pamięci, o czym można przeczytać na Wikipedii.

Mnemosyne to również program pomagający nauczyć się materiału.

Program do ściągnięcia jest stąd (http://mnemosyne-proj.org/)

Czego się można uczyć:

  • słówek, z pisownią i wymową
  • wzorów matematycznych
  • miejsc na mapach

Program dba o to, żeby zapamiętać nowy materiał, żeby osoba ucząca się nie przedawkowała 🙂 i dba o Czytaj dalej

Po co matematyka?

Matematyk rosyjski W. I. Arnold stwierdził kiedyś, że matematyka to dział fizyki, w którym koszt wykonania doświadczenia jest zerowy. Aby wykonać doświadczenie fizyczne, np. polegające na rzucie kulki, trzeba mieć przyrządy i przedmioty, a ponadto w trakcie wykonania doświadczenia może dojść do zniszczenia lub zużycia tych czy innych rzeczy, uszkodzenia eksperymentatora i/lub obserwatorów itd.. Modelowanie matematyczne odbywa się głównie w głowie człowieka i w tym sensie jest darmowe, gdyż nie musimy kupować żadnych rzeczy i nie powodować strat niszcząc je.

Od pierwszej klasy szkoły podstawowej aż do ostatniej klasy szkoły średniej uczniowie mają głównie do czynienia z modelami matematycznymi. Nie mówi się o tym na lekcjach matematyki wprost, co nie znaczy, że nie występuje w programie matematyki.

Na początku edukacji dziecko uczy się liczyć przedmioty – liczby poznaje po to, by móc zebrać informacje o otaczającym je świecie przedmiotów. Dziecko uczy się również prostych kształtów geometrycznych – po to, by móc dokonywać klasyfikacji otaczających je rzeczy.

Czytaj dalej

Jak można ogólnie spojrzeć na matematykę?

1.

Dzisiaj syntetycznie o matematyce.
Gdy człowiek zna szerszy kontekst spraw, wokół których się porusza, lepiej jest mu się odnaleźć.
Matematyka utkana jest z rachunków i pojęć.
Część rachunkowa wskazuje na wymiar praktyczny matematyki i jej zastosowania w naukach technicznych, w fizyce, ale również w socjologii i psychologii, biologii itd. Myśląc „rachunkowo”, zastanawiać się będziemy, jak obliczyć pole danej powierzchni, jak obliczyć przyspieszenie punktu materialnego poruszającego się po pewnej krzywej, jak opisać ruch ramienia robota, przewidzieć rozwój choroby zakaźnej itd.

W celu dokonywania takich i bardziej skomplikowanych obliczeń zostały rozwinięte działy matematyki „stosowanej” takie, jak arytmetyka, różniczkowy, rachunek całkowy, teoria równań różniczkowych, rachunek macierzowy, ale również biomatematyka, matematyka finansowa itd.

Czytaj dalej

Pamiętanie i zapominanie

Wstęp 🙂

Istotnym czynnikiem wpływającym na zapamiętywanie informacji ma zainteresowanie tą informacją.
Jeśli informacja jest ważna, to jest duża szansa, że się ją zapamięta.
Jeśli nie jest ważna, to jest duża szansa, że się ją zapomni.

Gdy podważasz sens nauki danego przedmiotu, to prawdopodobnie tracisz czas na jego naukę. Badania naukowe pokazują, że ludzie potrafią dość szybko zapomnieć nauczonego materiału, jeśli nie widzą sensu, by go pamiętać.

Ważność informacji to powiązanie z innymi informacjami. Czytaj dalej

Trójkąty i kółka zamiast liter

Jaką rolę pełnią poszczególne litery we wzorze?

Wzór można zapisać postaci bez użycia liter, a za pomocą innych

znaków mp. , itd. Tu sobie możesz wymyślać nowe rzeczy.

Przykład 1. Wzór na pole trapezu możesz zapisać tak:

    ▾-+-▴- P =    2  ⋅h

gdzie trójkąciki symbolizują długości dolnej i górnej podstawy.

Jeszcze inny sposób to zapisywanie wzorów za pomocą w miarę dużych trójkątów,

kółek i kwadratów. Czytaj dalej

Jak NIE wstawiać liczb do wzorów

Wstawianie liczb do wzorów

Przykład 1. Obliczamy xy dla x = 1√2, y = 2+√3 w sposób następujący:

         √ -    √ -      √ -  √ - x⋅y = 1-   2⋅2+   3 = 1 - 2 2+  3

Błąd polega na braku nawiasów między oboma wyrażeniami.

Powinno być tak:

      (    √-)  (   √ -) x ⋅y =  1-  2  ⋅ 2+   3

Skąd te nawiasy, skoro nie ma ich w wyrażeniu x y?

Otóż chodzi o to, że

mamy pomnożyć cały x przez cały y,

a nie tylko fragment x-a przez fragment y-a.

Popatrzmy na inny przykład z liczbami. Weźmy liczby a = 2 i b = 3.

Niewątpliwie ab = 6. Jeśli zapiszemy teraz a = 1+1, zaś b = 2+1, to przecież

nie może być tak:

a⋅b = 1 + 1⋅2+ 1 = 1+ 2+ 1 = 4

Czytaj dalej

Jak przykręcić gwóźdź za pomocą śrubokręta

Jak przykręcić śrubokrętem gwóźdź?

 

Przykład 1. Wzoru na pole trójkąta równobocznego

      √- P = a2-3-(a- długość boku)       4

nie można stosować do wszystkich trójkątów – to oczywiste. Nawet wobec tych,

które wyglądają jak równoboczne. Jeśli nie masz udowodnione lub podane

w treści zadania, że trójkąt jest równoboczny, to nie możesz stosować tego

wzoru.

 

Przykład 2. Jest taki wzór na pole czworokąta: Czytaj dalej

Głupie błędy (6)

Błędy dzielimy na mądre i własne.

Błędne wzory

Rzeczą najważniejszą – jeśli chodzi o wzory – to zrozumienie ich treści.

Jednym z częstszych błędów jest przywiązywanie wagi jedynie do liter, a nie do roli,

jakie te litery pełnią we wzorze.

Dlatego ważne jest nie tylko, jak wygląda wzór zapisany

w literach, ale również, co owe litery znaczą.

Oto kilka przykładów na wyjaśnienie, o co mi chodzi. Czytaj dalej